BeispielMathematik11.–12. SchulstufeVektoren, Skalarprodukt, Geraden — fertiges Beispiel, nicht selbst erzeugt.Alle Beispiele
Übersicht

Vektorgeometrie

Labor · Rechenwege · Zuordnung · Quiz

Vektor-Labor (2D)

Ziehe die Spitzen der Vektoren \(\vec{a}\) (blau) und \(\vec{b}\) (rot), um zu sehen, wie sich Addition, Winkel und das Skalarprodukt verändern.

Vektor \(\vec{a}\) \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(|\vec{a}| = 3.61\)
Vektor \(\vec{b}\) \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}\) \(|\vec{b}| = 3.16\)
Addition \(\vec{a} + \vec{b}\) \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}\) \(|\vec{s}| = 4.12\)
Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -3\) Winkel \(\alpha = 105.3^\circ\)
MedAT-Wissen:
• Skalarprodukt: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z\)
• Wenn das Skalarprodukt \(0\) ist, stehen die Vektoren im rechten Winkel (\(90^\circ\), orthogonal).
• Der Betrag (die Länge) berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras: \(|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\)

Theorie & Regeln

Die wichtigsten Vektor-Begriffe und Formeln für den MedAT kompakt zusammengefasst.

Skalarprodukt

\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt eine Zahl (keinen Vektor). Es ist besonders wichtig, um den Winkel zwischen Vektoren zu berechnen.
  • Orthogonalität: Wenn \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\), dann stehen die Vektoren im rechten Winkel (\(90^\circ\)) aufeinander.
  • Kommutativgesetz: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)

Kreuzprodukt (Vektorprodukt)

\(\vec{a} \times \vec{b}\)
Das Kreuzprodukt ergibt einen neuen Vektor (Normalvektor), der orthogonal (im rechten Winkel) auf beide ursprünglichen Vektoren steht.
  • Antikommutativ: \(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)
  • Flächeninhalt: Der Betrag \(|\vec{a} \times \vec{b}|\) entspricht dem Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.
  • Kollinearität: Wenn \(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}\), sind die Vektoren parallel (kollinear).

Einheitsvektor

\(\vec{e_a}\)
Ein Vektor, dessen Betrag (Länge) genau \(1\) ist.
  • Berechnung (Normierung): Man teilt einen Vektor durch seinen eigenen Betrag: \(\vec{e_a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)

1. Vektoraddition und -subtraktion

Vektoren werden komponentenweise addiert oder subtrahiert.

$$ \vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x \pm b_x \\ a_y \pm b_y \\ a_z \pm b_z \end{pmatrix} $$

2. Skalarprodukt

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z $$

3. Kreuzprodukt

$$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix} $$

4. Winkel zwischen zwei Vektoren

Der Cosinus des eingeschlossenen Winkels berechnet sich aus Skalarprodukt und Beträgen.

$$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $$

Vektor-Paare zuordnen

Ordne die Operationen dem korrekten Ergebnis zu.

Modus wählen

0
Richtig
0
Fehler
12
Übrig

Operation

Ergebnis

Quiz 15 Fragen

Teste dein Wissen zur Vektorgeometrie.

Frage 1 · Score 0 / 0