BeispielMathematik9.–10. SchulstufeSinus, Kosinus, Einheitskreis — fertiges Beispiel, nicht selbst erzeugt.Alle Beispiele
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Trigonometrie

Einheitskreis · Werte · Zuordnung · Quiz

Der Einheitskreis

Ziehe den Punkt auf dem Kreis oder bewege den Slider, um den Winkel \(\alpha\) zu verändern. Beobachte, wie sich Sinus (y-Achse), Cosinus (x-Achse) und Tangens verhalten.

Winkel \(\alpha\) 0° (0.00 \(\pi\))
\(\sin(\alpha)\) 0.00
\(\cos(\alpha)\) 1.00
\(\tan(\alpha)\) 0.00
MedAT-Wissen: Im Einheitskreis hat der Radius immer die Länge 1.
• \(\sin(\alpha)\) entspricht der y-Koordinate.
• \(\cos(\alpha)\) entspricht der x-Koordinate.
• \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\).

Theorie & Werte

Hier findest du ausführliche Steckbriefe zu den trigonometrischen Grundbegriffen und die wichtigsten Werte für den MedAT, die du auswendig wissen solltest.

Sinus

\(\sin(\alpha)\)
Am Einheitskreis (Radius \(r=1\)) ist der Sinus eines Winkels die y-Koordinate des zugehörigen Punktes. Im rechtwinkligen Dreieck entspricht er dem Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse.
  • Wertebereich: \([-1, 1]\)
  • Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung (\(\sin(-x) = -\sin(x)\))
  • Nullstellen: bei \(0^\circ, 180^\circ, 360^\circ\) (bzw. \(0, \pi, 2\pi\))

Cosinus

\(\cos(\alpha)\)
Der Cosinus entspricht der x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis. Im rechtwinkligen Dreieck ist es das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse.
  • Wertebereich: \([-1, 1]\)
  • Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse (\(\cos(-x) = \cos(x)\))
  • Nullstellen: bei \(90^\circ, 270^\circ\) (bzw. \(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\))

Tangens

\(\tan(\alpha)\)
Der Tangens ergibt sich aus dem Quotienten von Sinus und Cosinus: \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\). Am Einheitskreis ist dies der Abschnitt auf der Tangente an \(x=1\).
  • Wertebereich: \((-\infty, \infty)\)
  • Definitionslücken: dort, wo \(\cos(\alpha) = 0\) (also bei \(90^\circ, 270^\circ\))
  • Periode: Wiederholt sich alle \(180^\circ\) (\(\pi\))
Gradmaß Bogenmaß \(\sin(\alpha)\) \(\cos(\alpha)\) \(\tan(\alpha)\)
\(0^\circ\)\(0\)\(0\)\(1\)\(0\)
\(30^\circ\)\(\frac{\pi}{6}\)\(\frac{1}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(45^\circ\)\(\frac{\pi}{4}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(1\)
\(60^\circ\)\(\frac{\pi}{3}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(\sqrt{3}\)
\(90^\circ\)\(\frac{\pi}{2}\)\(1\)\(0\)\(-\)
\(180^\circ\)\(\pi\)\(0\)\(-1\)\(0\)
\(270^\circ\)\(\frac{3\pi}{2}\)\(-1\)\(0\)\(-\)
\(360^\circ\)\(2\pi\)\(0\)\(1\)\(0\)
Merksatz für den Sinus: \(\frac{\sqrt{0}}{2}\), \(\frac{\sqrt{1}}{2}\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\frac{\sqrt{4}}{2}\).
Der Cosinus ist genau umgekehrt!

Werte zuordnen

Trainiere die wichtigen MedAT-Werte auf Zeit. Wähle einen Modus und ordne die Paare korrekt zu.

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Quiz 15 Fragen

Teste dein Trigonometrie-Wissen für den MedAT.

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