BeispielMathematik11.–13. SchulstufeStammfunktion, Integral, Flächen — fertiges Beispiel, nicht selbst erzeugt.Alle Beispiele
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Integralrechnung

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Flächen-Scanner

Ziehe die farbigen Linien für die untere Grenze (\(a\)) und obere Grenze (\(b\)). Das Programm berechnet live den orientierten Flächeninhalt (das bestimmte Integral) zwischen der Funktion und der x-Achse.

Bestimmtes Integral \(\int_a^b f(x) dx\) 0.00
MedAT-Wissen:
• Das bestimmte Integral berechnet den "orientierten Flächeninhalt". Flächen unterhalb der x-Achse fließen negativ in die Summe ein!
• Vertauschst du die Grenzen \(a\) und \(b\), ändert sich das Vorzeichen des Integrals: \(\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx\).
• Sind beide Grenzen gleich (\(a=b\)), ist das Integral immer \(0\).

Theorie & Regeln

Die wichtigsten Stammfunktionen, Integrationsregeln und Definitionen für den MedAT kompakt zusammengefasst.

Bestimmtes Integral

\(\int_a^b f(x) dx\)
Das bestimmte Integral berechnet den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f(x)\) und der x-Achse in einem konkreten Intervall \([a, b]\). Das Ergebnis ist eine Zahl.
  • Orientierung: Flächen oberhalb der x-Achse sind positiv, Flächen unterhalb sind negativ.
  • Berechnung (Hauptsatz): \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\)
  • Grenzentausch: \(\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx\)

Stammfunktion & Unbestimmtes Integral

\(\int f(x) dx = F(x) + C\)
Das unbestimmte Integral (ohne Grenzen) ist die Menge aller Stammfunktionen \(F(x)\) einer Funktion \(f(x)\). Das Ergebnis ist eine Funktionenschar.
  • Eigenschaft: Wenn man \(F(x)\) ableitet, erhält man \(f(x)\) (\(F'(x) = f(x)\)).
  • Integrationskonstante \(C\): Da die Ableitung einer Konstanten 0 ist, gibt es unendlich viele Stammfunktionen. Daher immer \(+ C\) anfügen!

Absoluter (echter) Flächeninhalt

\(A\)
Soll der tatsächliche ("absolute") Flächeninhalt berechnet werden (z. B. wenn die Funktion Nullstellen hat), müssen die Beträge der Teilflächen addiert werden, damit sie sich nicht wegkürzen.
  • Schritt 1: Nullstellen der Funktion im Intervall berechnen.
  • Schritt 2: Das Integral von Nullstelle zu Nullstelle stückeln.
  • Schritt 3: Beträge der einzelnen bestimmten Integrale addieren: \(A = |\int_a^{x_1} f(x) dx| + |\int_{x_1}^b f(x) dx|\)

Grundintegrale (Stammfunktionen)

Funktion \(f(x)\) Stammfunktion \(F(x) = \int f(x) dx\)
\(x^n\) \((n \neq -1)\) \(\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C\)
\(\frac{1}{x}\) \(\ln|x| + C\)
\(e^x\) \(e^x + C\)
\(\sin(x)\) \(-\cos(x) + C\)
\(\cos(x)\) \(\sin(x) + C\)
\(a\) (Konstante) \(a \cdot x + C\)

Wichtige Regeln

Regel Formel
Faktorregel \(\int c \cdot f(x) dx = c \cdot \int f(x) dx\)
Summenregel \(\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx\)

Stammfunktionen zuordnen

Finde die richtige Stammfunktion \(F(x)\) zur gegebenen Funktion \(f(x)\).

Modus wählen

0
Richtig
0
Fehler
12
Übrig

Funktion

Stammfunktion

Quiz 15 Fragen

Teste dein Wissen zur Integralrechnung.

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